نمودارهای ون و منطق
اهداف
پس از انجام این فعالیت، دانش آموزان قادر خواهند بود:
- استنتاج مستقیم، غیر مستقیم و قیاسی را تعریف کنند.
- مثال هایی از استنتاج مستقیم، غیر مستقیم و قیاسی ارائه کنند.
- استنتاج های درست را از نادرست تشخیص دهند.
وسایل لازم
- ورقه ی فعالیت استنتاج مستقیم
- ورقه ی فعالیت استنتاج غیر مستقیم
طرح درس
یکی از اهداف اولیه ی آموزش ریاضی، ارتقای توان دانش آموزان در استدلال استقرایی است. قابلیت تفکر منطقی، توانایی بسیار مهمی به خصوص در ریاضیات است.
ورقه های فعالیت این درس، دانش آموزان را با سه روش مهم استنتاج در منطق استنتاجی آشنا می کند. استفاده از نمودارهای ون برای آموزش منطق، ایده ی جدیدی نیست، بسیاری از معلمان، برای آموزش ابتدا از نمودارها و سپس از نمادها استفاده می کنند. در این ورقه های فعالیت، چند تمرین با استفاده از نماد مطرح شده است، اما آموزش ها و تمرینات بر نمودار ون متمرکز شده است. دانش آموزان یاد می گیرند با استفاده از نمودار ون، گزاره بسازند و همچنین با استفاده از گزاره ها نمودار ون رسم کنند و سپس با استفاده از نمودار، درستی یا نادرستی گزاره ها را تعیین کنند.
اگر چه لازم نیست ولی توصیه می شود که ورقه ها به ترتیب بررسی شوند. ورقه ی مرجع، پس از این که چهار ورقه ی اول تمام شدند، مورد استفاده قرار می گیرد.
استنتاج مستقیم
فرض کنید گزاره ی زیر داده شده است:
قضیه: هر کسی که با سرعت 100Km/h رانندگی کند، قانون شکن است.
فرضیه: سارا با سرعت 100Km/h رانندگی می کند.
نتیجه گیری: سارا قانون شکن است.
گزاره را به وسیله ی نمودار ون نشان داده ایم. می توانیم ثابت کنیم که گزاره درست است زیرا صددرصد مطمئن هستیم که جان، درون دایره ی "شکستن قانون" قرار دارد.
اکنون گزاره ی زیر را در نظر بگیرید:
قضیه: هر کسی که با سرعت 100Km/h رانندگی کند، قانون شکن است.
فرضیه: پویا قانون شکن است.
نتیجه گیری: پویا با سرعت 100Km/h رانندگی می کند.
ترسیم نمودار، نشان می دهد که این نتیجه گیری نادرست است، زیرا نمی توانیم مطمئن باشیم که پویا درون دایره ی "رانندگی با سرعت 100Km/h" قرار دارد.
استنتاج غیر مستقیم
برگه ی فعالیت استنتاج غیر مستقیم
هنگامی که دانش آموزان به صورت گروهی فعالیت کنند، تأثیر فعالیت ها به شدت افزایش می یابد. در حین فعالیت، دانش آموزان باید بحث و تبادل نظر داشته باشند. اگر چه لازم است برای همه ی مسایل، از نمودار ون استفاده شود، اما بعضی از حالات را به وسیله ی دایره نمی توان نشان داد. در این حالات، معلم می تواند نمادگزاری p-q را با استفاده از مطالب زیر به دانش آموزان توضیح دهد.
برای استنتاج مستقیم، تعاریف زیر را داریم:
p --->q: اگر p رخ دهد، آن گاه q هم رخ می دهد.
p: p رخ داده است.
q : بنابراین q نیز رخ می دهد.
به طور مشابه تعاریف زیر را برای استنتاج غیر مستقیم داریم:
p--->q: اگر p رخ دهد، آن گاه q هم رخ می دهد.
q: ~q رخ نداده است.
p~: بنابراین p نیز رخ نمی دهد.
استنتاج قیاسی
در نهایت، برای استنتاج قیاسی تعاریف زیر را داریم:
p--->q: اگر p رخ دهد، آن گاه q هم رخ می دهد.
p--->r: اگر q رخ دهد، آن گاه r هم رخ می دهد.
p--->r: اگر p رخ دهد، آن گاه r هم رخ می دهد.
هنگامی که دانش آموزان مثال های خودشان را می سازند، از آن ها بخواهید روزنامه ای را بخوانند و با توجه به آن، گزاره هایی تولید کنند. همچنین می توانید از آن ها بخواهید گزاره هایی را با توجه به حقایق جدیدی که در علوم، تاریخ و یا ریاضیات یاد گرفته اند، بسازند. استفاده از داستان شرلوک هلمز (The Adventures of Sherlock Holmes (Dolye,1955 و یا دیگر داستان های جنایی- کارآگاهی نیز جالب است.
در تمرینات زیر، سه نوع استنتاج درست و یک استنتاج نادرست ولی با نتیجه ی درست نشان داده شده است. معلم ها باید توجه داشته باشند که این نوع استنتاج ها در مثال هایی که دانش آموزان می سازند نیز ممکن است وجود داشته باشد. یک مثال خوب از استنتاج نادرست با نتیجه گیری درست به شرح زیر است:
همه ی کسانی که کارمند شرکت الف هستند، باید تبعه ی ایران باشند.
سارا تبعه ی ایران است.
پس سارا کارمند شرکت الف است.
اگر نمی توانید بپذیرید که استنتاج فوق نادرست است، کافی است نام سارا را با نام خودتان جایگزین کنید (با این فرض که شما تبعه ی ایران هستید) و ببینید که چه اتفاقی می افتد. در این حالت، رسم نمودار ون برای دانش آموزان مفید است.
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
برگه ی فعالیت استنتاج مستقیم: پاسخ تعدادی از پرسش ها
1- همه ی بازیکنان لیگ برتر والیبال، در سال 1327 اعتصاب کرده بودند. ناصر بازیکن لیگ برتر والیبال است. می توانیم نتیجه بگیریم که ناصر، در سال 1327 اعتصاب کرده بود.
4- می توانیم نتیجه بگیریم که چوب بلوط در آب شناور است.
7- یک جواب محتمل می تواند این باشد:
اگر انگشت اشاره ی فردی سیاه باشد، آن گاه او تکالیفش را با خودکار سیاه انجام داده است.
انگشت اشاره ی محمد به شدت سیاه رنگ است.
پس می توانیم نتیجه بگیریم که محمد تکالیفش را با خودکار سیاه انجام داده است.
نمودار مربوطه نشان داده شده است.
8- نتیجه گیری، نادرست است. زیرا عروسک می تواند نشکن باشد و در عین حال پلاستیکی نباشد. به نمودار زیر توجه کنید.
ورقه ی فعالیت استنتاج غیر مستقیم: پاسخ تعدادی از پرسش ها
1- همه ی انسان های طرفدار آرامش، آرامش در خانواده ها را می خواهند.
محسن آرامش در خانواده ها را نمی خواهد.
بنابراین محسن یک انسان طرفدار آرامش نیست.
6- می توانیم نتیجه بگیرم که توشیما در کوبه (ژاپن) زندگی نمی کند. نمودار مربوطه نشان داده شده است.
×توشیما 
7- یک پاسخ احتمالی به شرح زیر است:
اگر هر چیزی در مکان خودش قرار داده شود، گرد و خاک به طور یکنواخت روی قفسه پخش می شود. گرد و خاک به طور یکنواخت روی قفسه پخش نشده است، پس چیزی از قفسه جابجا شده است.
×لکه بدون غبار
8- نتیجه گیری، نادرست است. زیرا عروسک می تواند نشکن باشد و در عین حال پلاستیکی نباشد. همان طور که در نمودار سؤال 8 ورقه ی 1 نشان داده شده است.
ورقه ی فعالیت استنتاج قیاسی: پاسخ تعدادی از پرسش ها
2- همه ی مضارب 6، زوج هستند. همه ی اعداد زوج، گویا هستند. همه ی اعداد گویا، حقیقی هستند. پس همه ی مضارب 6، حقیقی هستند.
5- همه ی کسانی که با وسایل نقلیه ی عمومی رفت و آمد می کنند، از محیط زیست حمایت کرده اند.
7- نتیجه گیری، نادرست است. زیرا شاید عروسک های زرد روی زمین، پلاستیکی نباشند.
ورقه ی فعالیت استنتاج درست یا نادرست: پاسخ تعدادی از پرسش ها
| 1- نادرست |
|
| 2- نادرست |
|
| 3- درست - اسنتاج مستقیم |
|
| 4- درست - استنتاج غیر مستقیم ×علی |
|
| 5- درست - استنتاج مستقیم |
|
| 6- درست – استنتاج قیاسی |
|
| 7- نادرست |
|
| 8- درست – استنتاج مستقیم |
|
9- اگر سارا دو تا L ببیند، می فهمد که او یک W پوشیده است. اما سارا نمی داند که چه حرفی پشت لباسش بوده است. پس او نباید دو تا L ببیند. (به نمودار پایین سمت چپ نگاه کنید.)
با این اطلاعات، مریم می تواند استنتاج کند که او و سحر هر دو W داشته اند و یا یک W و یک L داشته اند. اگر مریم، سحر را با یک L ببیند، خواهد فهمید که خودش W دارد. مریم نمی داند که چه حرفی پشت لباسش است. بنابراین سحر L نپوشیده است. (به نمودار سمت راست توجه کنید.) پس سحر می تواند بدون این که پشت لباس کسی را ببیند، نتیجه بگیرد که خودش W پوشیده است.
ارزیابی:
ورقه ی مرجع با هدف ترکیب تمرینات، بعد از کامل شدن چهار ورقه ی قبلی، طراحی شده است. دانش آموزان می توانند به 4 گروه تقسیم شوند و به هر گروه یک نوع از استنتاج اختصاص یابد. می توانید از آن ها بخواهید که در حد یک پاراگراف، درباره ی نوع استنتاجی که به آن ها اختصاص داده شده است، توضیح دهند. هر دانش آموز می تواند یک پاراگراف بنویسد و آن را به فرد سمت راستی خود بدهد تا ویرایش کند. پس از این که بحث دانش آموزان در این مورد تمام شد، ورقه ی مرجع به آن ها داده می شود تا شرحی کلی بنویسند. واضح ترین و بهترین شرح در کلاس، برگزیده شده و از او تقدیر خواهد شد.
از دانش آموزان بخواهید توضیح دهند که در چه بحث هایی از استنتاج مستقیم، غیر مستقیم و یا قیاس استفاده می شود. از آن ها بخواهید مثال هایی بزنند. با استفاده از مقاله ای در روزنامه، دانش آموزان می توانند استنتاج های درست یا نادرستی را مثال بزنند.
مترجم: آذین آزادی
تنظیم: نسرین صادقی
