حرکت دایره ای و اصطکاک

هدف:

در مطالب گذشته "حرکت دایره ای" و "حرکت دایره ای و حالت های مختلف آن" به روابط و حالت های مختلف روزمره از این حرکت اشاره شد. در ادامه همین مطلب، مثال هایی گسترده تر را بیان خواهیم نمود. پس بهتر است ابتدا به مطالعه دو مطلب اشاره شده بپردازید تا مثال ها را به راحتی درک کنید.

شرح درس:

اگر مطلب "حرکت دایره ای و حالت های مختلف آن" را مطالعه کرده باشید، آخرین مورد آن را به یاد خواهید آورد: سطل محتوی آب که با طنابی آن را به حرکت درآورده ایم. قبلا  اشاره شد که اگر نیروی مرکز گرای mv²/r بزرگ تر از نیروی وزن mg باشد و سطل با سرعت کافی و مناسب بالا بچرخد، آب درون سطل به بیرون نمی ریزد.

اگر سرعت کم باشد و mv²/r کوچک تر از mg باشد، تمام وزن آب برای تولید نیروی مرکز گرا مورد استفاده قرار نمی گیرد و شتاب رو به پایین بزرگتر از شتاب مرکزگرا شده و آب به بیرون می ریزد.

مثال1:
بزرگ ترین چرخ و فلک دنیا معروف به چشم لندن (London Eye) شعاع 120 متری دارد و با آهنگ 1 چرخش کامل در هر 30 دقیقه، می چرخد. با فرض این که این چرخ و فلک با سرعت ثابتی حرکت می کند، موارد زیر را بررسی کنید:

• الف) نیروی مرکزگرای وارد بر فرد 65 kg  داخل کابین.
• ب) نیروی عکس العمل صندلی زمانی که فرد مورد نظر در بالاترین نقطه دایره قرار دارد.
• ج) نیروی عکس العمل سطح وقتی فرد در پایین ترین نقطه دایره است.

حل الف:

ابتدا با داشتن زمان یک چرخش کامل و رابطه  ω=2 /T داریم:

حل ب:

در قسمت بالای چرخ و فلک داریم:

حل ج:

در پایین چرخ و فلک داریم:

اصطکاک و حرکت دایره ای:

الف) نیروی مرکزگرای وارد بر ماشین در پیچ جاده(حالت افقی):

به نظر شما نیروی مرکزگرای لازم برای اینکه ماشین در یک جاده مسطح بتواند پیچ را طی کند، چگونه تامین می شود؟ اگر چنین نیرویی وجود نداشته باشد، چه اتفاقی می افتد؟
به شکل زیر خوب دقت کنید و نیروهای وارد بر ماشین را به خاطر بسپارید.

نیروی جاذبه ماشین را به سمت زمین می کشد  و سطح جاده نیروی عکس العملی به صورت عمودی F_N به ماشین وارد می کند. نیروی اصطکاک نیز به ماشین به طور افقی وارد می شود. در حالتی که ماشین حرکت می کند، تایرها نسبت به سطح جاده به صورت لحظه ای، ساکن به نظر می رسند (تایرها در حال لغزیدن هستند).

در آستانه لغزش داریم:

و چون F_N=mg است، نیروی خالص وارد بر ماشین خواهد بود:

بنابراین:

از این رابطه می توان بیشترین مقدار سرعتی که ماشین می تواند در پیچ جاده داشته باشد، پیدا کرد:

یعنی باید:

باشد تا ماشین از جاده خارج نشود!

اگر سرعت حرکت ماشین زیاد شود، شعاع دایره ای که ماشین در پیچ می خواهد دور بزند، زیاد خواهد شد و ممکن است از مسیر خمیده پیچ منحرف شده و از جاده خارج شود.

پس بیشترین مقدار نیروی اصطکاک ایستایی لازم برای تامین نیروی مرکزگرای لازم و نگه داشتن ماشین در مسیر دایره ای و خارج نشدن از سطح جاده آن است که:

ب) نیروی مرکزگرای وارد بر ماشین در پیچ شیب دار:
فرض کنید ماشین در وضعیت شکل زیر قرار دارد:

در ساخت جاده ها معمولا از پیچ های زاویه دار نیز استفاده می شود تا ضمن این که ماشین سرعت زیاد خود را حفظ می کند، از جاده منحرف نشود. جاده با بهترین پیچ زاویه دار باید طوری طراحی شود که به اصطکاک وابسته نباشد!

طبق شکل 4 برای این که ماشین از مسیر دایره ای منحرف نشود و حداکثر سرعت خود را نیز حفظ کند باید:

یعنی مولفه افقی ناشی از نیروی عکس العمل از نیروی مرکز گرای وارد بر ماشین بیشتر باشد تا ماشین منحرف نشود و به حرکت زاویه دار خود در انحنای جاده ادامه دهد. از شکل فوق کاملا مشخص است که در صورتی که نیروی مرکزگرا بیشتر از مولفه افقی نیروی عکس العمل سطح باشد، ماشین منحرف می شود و حالت بد شکل بالا اتفاق می افتد.

برایند تمام نیروهای عمودی:

از این رابطه می توان فهمید که طبق زاویه خاص جاده، حداکثر سرعت ماشین چقدر باید باشد.

در صورتی که اصطکاک هم وجود داشته باشد، داریم:

برایند نیروهای افقی:

برایند نیروهای عمودی:

از این دو رابطه داریم:

در این جا هم نباید نیروی مرکزگرا به حدی باشد که ماشین را منحرف کند، پس اصطکاک بین جاده و چرخ های ماشین در این جا عامل بسیار خوبی برای منحرف نشدن ماشین محسوب می شود. اگر اصطکاک بسیار ناچیز باشد یا سطح جاده بسیار لیز شود، ممکن است ماشین به دلیل داشتن سرعت بالا دچار حادثه شود. بنابراین در هر دو رابطه 1 و 2 می توان حداکثر سرعتی که ماشین می تواند داشته باشد تا منحرف نشود، پیدا کرد.

حل چند مسئله از مطالب مختلف گفته شده راجع به حرکت دایره ای:

مثال1:
مردی دقیقا در قله یک تپه در حال راندن ماشین است. شعاع چنین تپه ای تقریبا 250 متر است. بیشترین سرعتی که ماشین می تواند بدون منحرف شدن از جاده روی تپه طی کند، چه قدر است؟

حل:
اگر نیروی خالص شعاعی وارد بر ماشین بتواند حداقل نیروی مرکز گرا تامین کند، ماشین از جاده بالای تپه منحرف نمی شود. تنها نیروهای شعاعی وارد بر ماشین در این حالت، نیروی جاذبه زمین و نیروی عکس العمل سطح است و با توجه به شکل داریم:

از آن جایی که نیروی عکس العمل سطح FN همیشه در امتداد جهت مثبت محور Y ها در نظر گرفته می شود، نیروی شعاعی هرگز از نیروی وزن ماشین بیشتر نمی شود؛ یعنی بیشترین مقدار نیروی شعاعی طبق رابطه بالا زمانی است که FN صفر باشد! این موضوع باعث ایجاد محدودیت بر روی نیروی مرکز گرا و سرعت ماشین می شود:

بیشترین مقدار سرعتی که ماشین می تواند در این حالت داشته باشد به صورت زیر است:

اما اگرماشین ، سرعتی کمتر از 50 m/s  داشته باشد، نیروی FN نیز باید در محاسبات در نظر گرفته شود.

مثال 2:

ماشینی در پیچ جاده ای با شعاع 8 متر حرکت می کند (شکل زیر). سرعت مماسی ماشین را برای حالتی پیدا کنید که ماشین سر نخورد.(ضریب اصطکاک بین جاده و ماشین 0.2 است)

              

بنابراین:

از طرفی نیروی مرکزگرای وارد برماشین با نیروی اصطکاک مساوی است:

از روابط بالا و معلومات مسئله داریم: v=4 m/s

مرکز یادگیری سایت تبیان - تهیه: خدیجه آلچالانلو
تنظیم: مریم فروزان کیا