فرکتال در مثلث خیام – پاسکال
این مبحث برای ارائه در سالهای اول دبیرستان جهت کسب مهارت در حل مساله پیشنهاد میشود. مطالب برای دو جلسه تنظیم شده است.
جلسه اول:
جدول (شکل 1) را در اختیار دانش آموزان بگذارید و از آنها بخواهید با کشف الگوی چگونگی ساخته شدن جدول، سه سطر بعدی آن را کامل
کنند.
از دانش آموزان بخواهید، خانه هایی که عدد فرد دارند را در جدول مذکور رنگ آمیزی کنند سپس بدون پیدا کردن عدد مربوط به هر خانه
در سطرهای بعدی، حدس بزنند کدام خانهها عدد فرد دارند و این خانهها را نیز رنگ کنند.
الگوی بدست آمده در این فعالیت را با استفاده از applet زیر به سادگی میتوانید مشاهده کنید.
http://www.ies.co.jp/math/java/misc/PascalTriangle/PascalTriangle.html
شما میتوانید با استفاده از دکمه های + و - تعداد سطرهای جدول را زیاد و کم کنید. با تغییر تعداد رنگها نیز الگوهای مختلفی بدست
خواهید آورد. در جدول دو رنگ این applet اعداد زوج و فرد از هم متمایز شده اند.
دانش آموزان الگوی جدول دو رنگ را در 20 سطر ساخته اند. شما میتوانید همین الگو را در تعداد بیشتری سطر به آنها نشان دهید.
حالا جدولی مانند جدول (شکل 2) در اختیار آنها قرار دهید و از آنها بخواهید به جای هر عدد، باقیمانده تقسیم آن بر 2 را در جدول
قرار دهند. یعنی صفر یا یک .
دانش آموزان باید بتوانند به سرعت و با بکارگیری منطق نشان داده شده در شکل زیر جدول را پر کنند:
اکنون با استفاده از applet بالا جدول سه رنگ را در 20 سطر به آنها نشان دهید. از آنها بخواهید توضیح دهند که این سه رنگ نشان
دهنده چه اعدادی هستند؟ سپس جدول دیگری مانند جدول زیر در اختیار آنها قرار دهید و از آنها بخواهید به جای هر عدد، باقیمانده تقسیم
آن بر 3 را در جدول قرار دهند یا با سه رنگ مختلف اعداد را بر حسب باقیمانده شان بر 3 از هم جدا کنند.
دانش آموزان باید بتوانند منطق نشان داده شده در شکل زیر را برای پر کردن جدول (شکل 3) بکار برند.
می توانید با طرح سوالاتی مانند سوالات زیر و بحث راجع به آنها کلاس را به پایان ببرید:
- آیا میتوان در جدول 20 سطری که بر اساس باقیمانده اعداد بر 2 تنظیم شده است، مثلثی به صورت 
یافت که همه اعداد داخل آن صفر و همه اعداد اطراف آن یک باشد؟ مثلثی بصورت 
چطور؟
- آیا میتوان در همین جدول مثلثی به صورت یافت که همه اعداد داخل آن یک و همه اعداد اطراف آن صفر باشد؟ مثلثی به صورت چطور؟
- ده مثلث در این جدول پیدا کنید که همه اعداد داخل آن یک و همه اطراف آن صفر باشد!
آیا اندازه این ده مثلث با هم مساوی است؟
آیا میتوانید یک مثلث بزرگتر با همین خصوصیات در 100 سطر اول مثلث خیام - پاسکال بیابید؟
جلسه دوم:
جدول 20 سطری که براساس باقیمانده اعداد بر 2 تنظیم شده است و در (شکل 4) زیر آمده است را در اختیار دانش آموزان قرار دهید و از
آنها بخواهید تعداد اعداد فرد هر سطر را پیدا کنند.(شکل 4)
اگر تعداد اعداد فرد هر سطر را بیابیم و دنبال هم بنویسیم به سری اعداد زیر خواهیم رسید:
...،1،2،2،4،2،4،4،8،2،4،4،8،4،8،8،16،2،4،4،8
چگونه میتوان عدد بعدی را حدس زد؟ دانش آموزان با دقت در سری اعداد بالا میتوانند دریابند که همه این اعداد توانهایی از 2 هستند
و اگر این اعداد را در دسته های دوتایی در نظر بگیریم. عدد دوم در هر دسته دو برابر عدد اول است یعنی 2n+1 و 2n مثلاً دسته اول شامل اعداد 1 و 2 و دسته بعدی اعداد 2 و 4 است.
برای یافتن الگویی جهت دسته های دوتایی بعدی از دانش آموزان بخواهید اولین عدد هر دسته را جدا کنند و در یک سری جدید بنویسند.
...،1،2،2،4،2،4،4،8،2،4
از دانش آموزان بخواهید با دقت به این سری اعداد توجه کنند!
نکته اینجاست که این رشته همان رشته اعداد اولیه است. آیا میتوانید عدد بعدی در این رشته و در نیتجه عدد بعدی در رشته اعداد بالا
را حدس بزنید؟
این سری عدد را نیز میتوان به دسته های دوتایی تقسیم کرد و سری اعداد جدیدی با اولین عدد هر یک از این دستهها ساخت این سری به
صورت زیر خواهد بود:
1،2،2،4،2،...
در واقع مانند این است که بگوئیم سری اعداد اولیه را به دسته های چهارتایی به صورت 2n+2 و 2n+1 و 2n+1 و 2n میتوان تقسیم کرد و اعداد اول هر یک از این دسته های چهارتایی را در کنار هم بصورت زیر نوشت.
1،2،2،4،2،...
این سری اعداد هم همان سری اعداد اولیه است!
به همین ترتیب میتوان سری اعداد اولیه را به دسته های هشت تایی به صورت 2n,2n+1,2n+1,2n+2,2n+1,2n+2,2n+2,2n+3 تقسیم کرد و اولین اعداد هر دسته را در یک سری نوشت که باز هم همان سری اعداد اولیه بدست خواهد آمد!
با توجه به شکل جدول دو رنگ میتوان دلیل این الگو را در کلاس به بحث گذاشت:
به شکل 5 توجه کنید:
همانطور که در شکل مشخص است، سطر دوم از دوبار تکرار سطر اول بدست میآید، سطر سوم و چهارم از دوبار تکرار سطر اول و دوم و به
همین ترتیب چهار سطر دوم از دوبار تکرار چهار سطر اول و هشت سطر دوم از دوبار تکرار هشت سطر اول بدست میآید!
پس از بحث درباره الگوی اعداد فرد در مثلث خیام - پاسکال از دانش آموزان بخواهید تعداد اعداد فرد در 100 سطر اول این جدول را بیابند!
این سوال به معنی یافتن مجموع 100 عدد اول در سری اعداد معرفی شده در بالاست.
ممکن است دانش آموزان راه حلهای متفاوتی برای حل این مساله داشته باشند یکی از این راه حلها از این قرار است:
می توان 100 عدد را به 25 دسته چهارتایی تقسیم کرد که هر دسته به صورت 2n,2n+1,2n+1,2n+2 است. مجموع اعداد در هر دسته چهارتایی 9 برابر عدد اول این دسته است. چرا؟
پس کافیست مجموع 25 عدد اول سری اولیه را بدست آوریم و در 9 ضرب کنیم. اما این 25 عدد را هم میتوان به دسته های چهارتایی تقسیم
کرد:
پس مجموع 25 عدد اول سری برابر (1+2+2+4+2+4)*9+4 است! چرا؟
مجموع 100 عدد اول سری یعنی تعداد اعداد فرد در 100 سطر اول جدول خیام - پاسکال نیز برابر 1251 خواهد شد.
می توانید کلاستان را با طرح سوالات زیر به پایان ببرید.
در جدول 20 سطری که بر اساس باقیمانده اعداد بر 3 تنظیم شده است چه الگویی میتوان یافت؟
چند عدد در 100 سطر اول جدول وجود دارد که باقیمانده آنها بر 3 برابر یک است؟
