نقوش هندسی هم رشد می کنند!

توضیح اولیه

این طرح درس با استفاده از یک الگوی هندسی و ویژگی‌های مستطیل ( طول، عرض، مساحت و محیط ) به آموزش مفهوم الگویابی و سپس فرمول‌یابی برای الگوی به‌دست آمده می‌پردازد. دانش‌آموزان با مرتب کردن داده‌ها و تحلیل آن‌ها باید آهنگ رشد چند تصاعد را پیدا کنند و آن را با الگوی هندسی که در تصویر می‌بینند، تطبیق دهند؛ و در نهایت فرمول‌هایی برای آن ها به دست آورند.

اهداف

در پایان این جلسه دانش‌آموزان باید بتوانند:

با استفاده از تحلیل مراحل مختلفِ تصویری که در اختیار دارند و ثبت داده‌ها در یک جدول، آهنگ رشد تصاعدها را پیدا كنند.

با استفاده از یافته‌های خود، جملات دیگر تصاعدها را پیش‌بینی کنند.

برای داده‌ های موجود، فرمولی بر حسب n بنویسند.

ارتباط بین ویژگی های شکل و الگوی هندسی را با الگوهای عددی دریابند.

وسایل لازم

برگه‌ فعالیت، کاغذ شطرنجی و تعدادی مداد یا ماژیک با رنگ‌های مختلف

تصاویر الگوهای هندسی مراحل 1، 2 و 3 ( در صورتی که دانش‌آموزان نمی‌توانند این تصویرها را در برگه‌‌های فعالیت خود داشته باشند، این تصاویر را برای آن‌ها در كلاس به نمایش بگذارید. ).

طرح درس

تصویر الگوی هندسی را به دانش آموزان بدهید و یا این‌که تصویری رنگی از سه مرحله‌ رشد الگوی هندسی را در کلاس، در جایی که همه می‌بینند، نصب کنید.

از دانش‌آموزان بخواهید که ابتدا به سه تصویر دقت کنند و سعی کنند روند رشد الگوی هندسی را درک کنند. سپس از آنان بخواهید تا با استفاده از آن ها، تصویر مرحله 4 را پیش‌بینی و در کاغذ شطرنجی رسم کنند. از آنان بخواهید که درباره  روش این کار توضیح دهند و بگویند که برای هر یک از رنگ های قرمز و آبی و سبز در تصویر چهارم چه اتفاقی خواهد افتاد. سپس از آن‌ها سؤال كنید كه " آیا می توانید تصویر مرحله 1 را در تصویر مرحله  2 پیدا کنید؟ و نیز تصویر مرحله 2 را در تصویر مرحله 3 ؟ " تشخیص این موضوع کمک می‌کند تا رابطه‌ هر مرحله با مرحله بعد، برای دانش‌آموزان روشن‌تر شود. حتی می‌توانید روی شكل هر مرحله، شكل مرحله‌ قبل را مشخص کنید تا دانش‌آموزان چگونگی رشد تصویر را به خوبی ببینند. در گام بعد، از آن‌ها بخواهید تا مرحله صفر ( قبل از یک ) را نیز حدس بزنند و تصویر آن را در کنار مرحله 1 رسم کنند. توجه دانش آموزان را به این نکته جلب کنید که رنگ های قرمز و سبز در این مرحله وجود ندارند.

حالا برگه‌های فعالیت را بین دانش‌آموزان توزیع کنید و از آنان بخواهید تا با استفاده از تصاویر و شمارش خانه‌های رنگی، ستون‌های آن را پر کنند.

 

سپس سعی کنند ارتباط اعداد هر ردیف را در مراحل مختلف پیدا کنند ( ستون n را فعلاً خالی بگذارند. ). بعد از آن به پرسش های برگه‌‌ فعالیت پاسخ دهند و سعی کنند فرمولی بر حسب n برای تعداد خانه های هر یک از رنگها پیدا کنند ( به آن ها بگویید كه ‌n را برابر با شماره مرحله الگوی هندسی در نظر بگیرند. ). دانش آموزان ممکن است راه‌های مختلفی برای رسیدن به فرمول‌ها در پیش بگیرند؛ یکی از این راه ها که می توانید به آن اشاره کنید، تجزیه کردن عددهای هر مرحله به شکلی است که روند رشد آن نشان داده شود.

مثال اول:

با نوشتن تعداد خانه‌‌ های آبی به صورت بالا، دانش آموزان می توانند درک کنند که در هر مرحله، مضربی از عدد 4 به عدد اول یعنی 2 اضافه می شود؛ یعنی تعداد آبی ها در مرحله  n-ام ، برابر 4n+2 می‌شود.

مثال دوم:

با نوشتن اعداد به صورت بالا، روشن می‌ شود که در مرحله ی n-ام یک بار عدد 2 و (1-n) بار عدد 4 به عدد اول ( یعنی صفر ) اضافه می شود؛ به زبان ریاضی یعنی (( 2n+4(1+2+...+(n-1 خانه قرمز در شكل n-ام وجود دارد. بنابراین با استفاده از فرمول مربوط به تصاعدهای عددی نتیجه می‌شود:

2n2= تعداد خانه‌ های قرمز در مرحله n-ام

به دانش‌ آموزان یادآوری کنید که آهنگ رشد در مورد خانه های آبی مقداری ثابت و برابر با 4 است؛ زیرا در هر مرحله فقط 4 خانه‌ آبی به 4 گوشه مستطیل اضافه می شود. ولی افزایش خانه های قرمز، هر بار 4 تا بیشتر از مرحله قبل است ( یعنی نرخ رشد ثابت نیست. ) و در هر مرحله به تعداد خانه های موجود در عرض مستطیل مرحله‌ قبل، به تعداد خانه‌های قرمز اضافه می شود. در مورد رنگ سبز نیز همین طور است؛ با این تفاوت که هر بار مضربی از عدد 4 به عدد قبلی اضافه می‌شود ( یعنی به تعداد خانه‌های موجود در طول مستطیل مرحله قبل ).

در نهایت برای تعداد خانه های آبی، سبز و قرمز در شكل مرحله n-ام، این فرمول‌ها به دست می‌آید:

در مرحله‌ بعد از دانش‌ آموزان بخواهید تا جدول 2 را نیز پر کنند و برای طول، عرض و مساحت مستطیل نیز فرمول هایی پیدا کنند ( طول و عرض مستطیل در هر مرحله 2 واحد افزایش می‌یابد. مساحت مستطیل نیز همان تعداد کل خانه های مستطیل است. ).

حالا از دانش‌آموزان بخواهید تا برای امتحان کردن پاسخ‌هایشان، پرسش‌های برگه فعالیت را یک بار دیگر، این‌بار با استفاده از فرمول‌هائی كه به دست آورده‌اند، پاسخ دهند و با جواب قبلی خود مقایسه کنند.

ارزشیابی

برگه فعالیت، طرح‌های دانش‌آموزان، جدول‌ها و پاسخ‌هایشان ملاک ارزشیابی كار آن‌ها خواهد بود.

توسعه

از دانش آموزان بخواهید تا خودشان الگوی تازه‌ ای روی کاغذ شطرنجی، طراحی کنند و حداقل سه مرحله از آن را رسم کنند. دانش آموزان باید توجه كنند كه این نقش حداقل 2 محور تقارن داشته باشد و رشد آن از نظمی منطقی پیروی کند. سپس در برگه‌ دیگری، جدول مربوط به الگوی تازه خود را رسم کنند ( مشابه جدول های 1 و 2 ) و بعد برگه‌هایشان را با هم عوض کنند تا هر دانش‌آموزی الگوی طراحی شده توسط دیگری را تحلیل کند و فرمول‌هایی برای آن پیدا کند.

مترجم: نیوشا حکمی