تخفیف های متوالی

اهداف

دانش آموزان:

ارائه ی عددی و نمادی برای ترکیب تابع را تعیین خواهند کرد.

روابط هم ارز برای ترکیب توابع را تعیین خواهد کرد.

از تکنولوژی استفاده خواهد کرد تا نمایش گرافیکی ترکیب توابع را گسترش دهند.

وسایل لازم

برگه ی فعالیت تخفیف های متوالی

ماشین حساب رسم کننده ی نمودار

طرح درس

در خلال این درس، دانش آموزان به تنهایی در مورد برخی از س?الات فکر خواهند کرد، سپس در مورد پاسخ ها با هم گروهیشان بحث می کنند و در نهایت گروه ها کارهایشان را با کل کلاس به اشتراک می گذارند. تفکر، بحث و به اشتراک گذاشتن، به دانش آموزان فرصت می دهد تا به طور فعال در مراحل یادگیری درگیر شوند.

درس را به وسیله ی بحث در مورد مفهوم تخفیف های متوالی در یک مغازه، معرفی کنید.

برگه ی فعالیت تخفیف های متوالی را توزیع کنید و از دانش آموزان بخواهید مطالب آن را بخوانند. به دانش آموزان بگویید که هدف مفاهیم این برگه، شرح مفهوم ترکیب توابع در ریاضیات است.

 

به دانش آموزان وقت کافی بدهید تا دو مسئله ی اول را در برگه ی فعالیت کامل کنند.

به دانش آموزان بگویید که در ابتدا به صورت فردی کار کنند، سپس از آن ها بخواهید که پاسخ هایشان را با هم گروهیشان به اشتراک بگذارند.

پس از این که دانش آموزان با هم گروهیشان مشورت کردند، به عنوان یک گروه بزرگ، از دانش آموزان بپرسید که آن ها چگونه قیمت فروش شلوار را مشخص می کنند. امکان دارد دانش آموزی %25 تخفیف را با ضرب کردن قیمت در %25 و کم کردن آن از مقدار کل قیمت، حساب کند. به منظور ایجاد یک تابع، از دانش آموزان بخواهید تا قیمت را بعد از %25 تخفیف، فقط با یک عملیات تعیین کنند. اگر دانش آموزان در هنگام کوشش برای یافتن چنین تابعی دچار مشکل شدند، از آن ها بخواهید تا در مورد این فکر کنند که وقتی %25 پس انداز می کنند، چقدر باید بپردازند. می توانید به طور مرتب از دانش آموزان بخواهید قیمت نهایی را بر حسب قیمت اصلی و تخفیف بنویسند. این کار آن ها را به تابع یک عملیاتی هدایت می کند: x-0.25x=0.75x.

بعد از این که دانش آموزان در مورد پاسخ ها و راهکارهایشان برای 2 مسئله ی اول بحث کردند، از آن ها بخواهید که سؤال های 3 تا 6 را حل کنند. دوباره از دانش آموزان بخواهید که در ابتدا به طور فردی کار کنند، سپس از آن ها بخواهید پاسخ هایشان را با هم به اشتراک بگذارند. اگر دانش آموزان در خلال بحث با هم گروهیشان، پرسیدند که آیا جواب هایشان درست است، از آن ها بخواهید که در مورد جواب ها با هم گروهیشان بحث کنند. به گروه ها فرصت دهید تا با هم بحث کنند. بعد از این که دانش آموزان با هم گروهی هایشان بحث کردند، از کلاس بخواهید که توابعی را که نوشته اند، به اشتراک بگذارند. زمان زیادی را برای بحث اختصاص دهید. از دانش آموزان بپرسید که آیا آن ها نمایش ضابطه ای متفاوتی برای هر تابع نوشته اند؟ ابتدا روی مراحل ایجاد یک تابع تمرکز کنید و سپس به سراغ تابع دیگری بروید.

پاسخ سؤالات 1 تا 6:

1- 23.25 دلار

2- 22 دلار

3- f(x)=x-5

4- g(x)=0.75x

5- r(x)=0.75x

6-( s(x)=0.75(x-5

به دانش آموزان بگویید که آن ها حالا از یک ماشین حساب رسم کننده ی نمودار استفاده خواهند کرد تا نمایش گرافیکی این وضعیت را بررسی کنند. هر دانش آموز باید سؤال های 8 و 7 را حل کند. بعد از آن که دانش آموزان این سؤال ها را کامل کردند، از آن ها بخواهید تا پنجره ی نمایششان را با هم گروهیشان به اشتراک بگذارند. از دانش آموزان بخواهید که دلیلشان را برای انتخاب یک دامنه ی مشخص، به اشتراک بگذارند. بعد از این که دانش آموزان با هم گروهیشان مشورت کردند، به عنوان یک گروه بزرگ از دانش آموزان بخواهید که دامنه هایشان را به اشتراک بگذارند. به دانش آموزان بگویید که داشتن دامنه های متفاوت قابل قبول است به شرطی که آن ها از داده ها ی مسئله به طور معقول استفاده کرده باشند. دامنهی منطقی شامل مقادیر منفی نخواهد شد و به اندازه ی کافی بزرگ خواهد بود تا قیمت 36 دلار یک شلوار به علاوه ی قیمت های فراتر از آن را نیز شامل شود.

پاسخ های محتمل سؤالات 8-7 :

7-دامنه [. , 75]

8-پنجره d نمایش ساده: با xmin=0 و xmax=75 و ymin=0 و ymax=75

به طور فردی، دانش آموزان باید سؤال 9 برگه ی فعالیت را کامل کنند. دانش آموزان می توانند از توابع ترسیم شده استفاده کنند تا نقطه ی تلاقی را شناسایی کنند. از دانش آموزان در مورد مفهوم نقطه ی تلاقی سؤال کنید.

مثالی برای سؤال 9

9-نمودار سمت چپ زیر دو تابع از پنجره ی سؤال 8 را نشان می دهد و آشکار است که منحنی ها نقطه ی تلاقی دارند. توضیحات منحنی سمت راست، نشان می دهد که تلاقی دو منحنی در نقطه ی نزدیک به x=20 و y=15 اتفاق می افتد.

سؤالات 10 تا 13 در برگه ی فعالیت این درس به ترکیب توابع مربوط است. از دانش آموزان بخواهید تا باهم گروهیشان روی سؤالات 10 تا 13 کار کنند. به دانش آموزان زمان زیادی دهید تا بحث کنند که چگونه فقط از y1 و y2 استفاده کنند تا معادله ای برای s(x) و r(x)  بنویسند. اگر دانش آموزان مشکل دارند، از آن ها بخواهید در مورد ترتیب اعمال تخفیف ها و این که کدام تخفیف ها y1 و y2 را نشان می دهد، فکر کنند. برای مرور سؤالات 10 تا 13، از گروه 2 نفره بخواهید که با هم ترکیب شوند و یک گروه چهار نفره تشکیل دهند. از گروه ها بخواهید تابع ها و منحنی هایشان را به اشتراک بگذارند. بعد از این که دانش آموزان در گروه ها کار کردند، جواب ها را در قالب یک گروه بزرگ مرور کنید. از دانش آموزان بخواهید توضیح دهند که چرا توابع( y=y1(y2 و( y=y2(y1 به ترتیب برابر( y=r(x  و( y=s(x می باشند.

پاسخ سؤالات 10 تا 13

10-منحنی(y=r(x  همیشه پایین منحنی های( y1=f(x و( y2=g(x (وقتی y>0) قرار می گیرند، چون 2 تخفیف قیمت کمتری را نسبت به یک تخفیف، نتیجه می دهد.

11-تابع( y=r(x با تابع( y=y1(y2 هم ارز است. در این مورد ابتدا y2، که 25 درصد تخفیف را نشان می دهد، اعمال می شود، y1، که 5 دلار کمتر را نشان می دهد، بعد از آن اعمال می شود.

مفهوم منحنی این است که تا زمانی که تابع (y = r(x  و (y = y1(y2 برابر هستند، منحنی های مشابهی را تولید می کنند. وقتی 2 تابع منحنی های مشابه تولید کنند، منحنی ها روی هم می افتد. دانش آموزان می توانند از توابع متوالی برای حرکت در امتداد منحنی( y = r(x و  (y = y1(y2  استفاده کنند تا متقاعد شوند که خطوط واقعاً بر هم منطبقند. منحنی سمت چپ شکل زیر حرکت در امتداد منحنی( y=y1(y2  را نشان می دهد.

12-منحنی( y=s(x همیشه پایین منحنی( y1=r(x  و( y2=g(x  (وقتی 0>g) قرارمی گیرد، چون 2 تخفیف قیمت کمتری را نسبت به فقط یک تخفیف، نتیجه می دهد.

13-تابع( y=s(x با تابع( y=y2(y1  هم ارز است. در این مورد ابتدا y1 که 5 دلار کمتر را نشان می دهد، اعمال می شود و y2 که %25 تخفیف را نشان می دهد، بعداً اعمال می شود. مفهوم این منحنی این است که تا زمانی که تابع( y=s(x و

( y=y2(y1) برابرند، یک منحنی مشابه تولید می کنند. وقتی 2 تابع منحنی های مشابه تولید کنند این منحنی ها بر هم منطبق می شوند. دانش آموزان می توانند از توابع متوالی برای حرکت در امتداد منحنی های( y = r(x و( y=y2(y1استفاده کنند تا متقاعد شوند که این خطوط واقعاً بر هم منطبقند. منحنی سمت چپ شکل زیر حرکت در امتداد منحنی

(y=s(x و منحنی سمت راست حرکت در امتداد منحنی( y=y2(y1 را نشان می دهد.

برای تبدیل نمایش نموداری به نمایش جبری، به دانش آموزان بگو یید که با به کار بردن توابع f(x) و g(x) به طور متوالی، ترکیبی از دو تابع ایجاد می کنند. در سؤال های 5 و 6، از دانش آموزان بخواهید به جای y1 از f(x) و g(x) استفاده کنند تا معادلات هم ارز برای r(x)  s(x) و را بنویسند.

دانش آموزان باید به این نتیجه برسند: r(x)=f(g(x)) و s(x)=g(f(x))

سؤال 14 می تواند به عنوان فعالیت آخر برای این درس استفاده شود. دانش آموزان باید بفهمند که اعمال درصد تخفیف در ابتدا، کمترین قیمت را نتیجه می دهد، چون تخفیف در صدی از مقدار بیشتری گرفته می شود.

پاسخ سؤال 14

14-اگر y=r(x) و y=s(x) در یک پنجره ی مشابه رسم شوند، خطوط موازی هستند و s(x)>r(x)، که این یعنی قیمت فروشی که با تابع y=s(x) ارائه می شود، همیشه بیشتر از قیمت فروشی که با تابع y=r(x) ارائه می شود است، گر چه تفاوت اندک است. (برای منحنی زیر xmin=35 و xmax=45 و ymin=20 و ymax=30، برای واضح کردن تفاوت بین خطوط از ردیابی توابع استفاده کنید. دانش آموزان باید توجه کنند که قیمت فروش شلوا رها همیشه 1.25 دلار است. اگر تخفیف درصدی ابتدا استفاده شود، این نتیجه می تواند به وسیله ی تفریق از لحاظ جبری برسی شود:

r(x)-s(x)=0.75x-5-(0.75(x-5))=0.75x-5-0.75x+3.75=1.250

پرسش هایی برای دانش آموزان

نمایش جبری( r(x و( s(x را مقایسه کنید. ترتیب تخفیف ها چگونه روی نمایش های جبری اش اثر می گذارد؟

شما چگونه برای شرایط این مسئله دامنه ی مناسبی تعیین کرده اید؟ (این سؤال جالبی برای بررسی کردن است، چون اگر شلوار ها به اندازه ی کافی ارزان باشند، ممکن است بعد از اعمال تخفیف ها یک مقدار منفی به دست آوریم. یکی از موضوعات برای بحث کردن این است که فروشگاه به مشتری پول پرداخت نمی کند، بنابراین اگر تخفیف ها یک قیمت منفی را نتیجه دهند، این کالا باید رایگان باشد.)

مفهوم نقطه ی تلاقی منحنی های( y=f(x و( y=g(x با توجه به شرایط مسئله، چیست؟ شما توابعی را که با هم برابرند، چگونه تعیین می کنید؟

منحنی های(y=r(x و(y=s(x  چگونه نشان می دهند که قیمت فروش ارائه شده توسط تابع ( y=s(x همیشه نسبت به قیمت فروش ارائه شده توسط تابع( y=r(x بزرگتر خواهد بود؟

ارزشیابی

با دو تابع مفروض( g(x و( f(x از دانش آموزان بخواهید تعیین کنند که آیا ترکیب(( g(f(x  و(( f(g(x معادلات هم ارزی را نتیجه می دهد؟ دانش آموزان باید از نمایش های جبری و نموداری استفاده کنند تا جواب هایشان را توجیه کنند.

از دانش آموزان بخواهید که به مثالی شبیه به مثال زیر پاسخ دهند:

یک فروشگاه بزرگ در حال تعیین قیمت های فروش آخر سال خود می باشد. کالاها با 40 درصد تخفیف به فروش می رسد. به علاوه، یک آگهی به روزنامه می فرستند که به هر خریداری 10 دلار کوپن داده می شود.

الف- (f(x را قیمت فروش کالا بعد از اعمال 40 درصد تخفیف، قرار دهید. معادله ای برای (f(x بر حسب x بنویسید. توضیح دهید که چرا این یک کالا را مشخص می کند.

ب-( g(x را قیمت فروش یک کالا بعد از 10دلار کم کردن، قرار دهید. معادله ای برای( g(x بر حسب x بنویسید. توضیح دهید که چرا این، قیمت فروش را مشخص می کند.

ج-(( f(g(x را بیابید. توضیح دهید که چگونه این با ترتیب تخفیف ها برای قیمت فروش یک کالا مرتبط است.

د-(( g(f(x را بیا بید. توضیح دهید که چگونه این با تر تیب تخفیف ها برای قیمت فروش یک کالا مرتبط است.

ه- به (ج) و (د) دقت کنید. توضیح دهید که چرا یک ترکیب همیشه قیمت کمتری را نتیجه می دهد.

توسعه

سه تخفیف را با هم ترکیب کنید، به عنوان مثال با استفاده از کارت اعتباری 10درصد تخفیف اضافه لحاظ کنید. از دانش آموران بخواهید که ترکیب سه تابع را مشخص کنند.

برای دانش آموزان یک تابع مرکب مانند (h(x)=0.6(x-2 تعریف کنید. از دانش آموزان بخواهید که توابع( f(x و( g(x را تعیین کنند، چنان که(( h(x)=f(g(x باشد.

بررسی اجرای طرح درس در کلاس

نمایش های مختلف از ترکیب توابع چگونه فهم دانش آموزان را رشد می دهد؟

در برخی از روش ها دانش آموزان نشان دادند که به طور فعال در مراحل یا دگیری درگیر شده اند. آن روش ها چگونه بوده اند؟

تکنولوژی چگونه فهم ترکیب توابع را بالا می برد؟

مترجم: وحید رستمی