خط پی

اهداف

دانش آموزان قادر خواهند شد:

برای نمایش اطلاعات جمع آوری شده به وسیله ی نمودار، مقیاس مناسبی انتخاب کنند.

معادله ی خطی به شکل y=ax را بنویسند.

عدد را به صورت یک نسبت و همچنین به صورت شیب یک خط تفسیر کنند.

وسایل لازم

اشیای گرد در اندازه های مختلف

چسب نواری (ترجیحاً به رنگ روشن)

قیچی

کاغذهای مخصوص رسم نمودار

خط کش یا متر اندازه گیری

ماشین حسابی که بتواند نمودارها را رسم کند. (اختیاری)

طرح درس

برگه ی ضمیمه ی شماره 1، با عنوان "شیب، پی و خطوط" را به وسیله ی پروژکتور اورهد به نمایش بگذارید. با استفاده از سؤالات مطرح شده در این صفحه، بحث مختصری را در کلاس به راه اندازید. توجه کنید از آن جا که این سؤالات فقط به منظور ایجاد انگیزه و آماده سازی شروع درس می باشد، لزومی به پاسخ گویی کامل به تمام سؤالات، در طول بحث کلاسی نمی باشد. پس از بحث کلاسی، بر روی تخته ی وایت برد، صفحه ی مختصات را رسم و هر یک از محورها را با مقیاس یکسانی درجه بندی کنید. (در صورتی که برای نمایش محیط بزرگ ترین دایره بر روی تخته، جای کافی موجود باشد، بهتر است که محورها را برحسب سانتی متر (اندازه ی واقعی)، مدرج نمایید. لازم به ذکر است که کلیه ی نقاط در ربع اول صفحه ی مختصات (بالا و سمت راست)، علامت گذاری خواهند شد.

مراحل انجام طرح درس به شرح زیر می باشد:

1. 1-برای هر شکل، دور تا دور دایره ی مورد نظر را با نوار چسب بچسبانید، به طوری که دو انتهای نوار بر روی هم قرار گیرند. سپس نوار را ببرید و آن را از دور دایره جدا کرده و روی تخته ی وایت برد بچسبانید تا نشان دهنده ی اندازه ی محیط باشد. روی این قطعه ی نوار چسب، کلمه ی محیط را بنویسید.
2. 2-نوار چسب دیگری را در طول پهن ترین قسمت دایره بچسبانید، به طوری که از مرکز دایره بگذرد (درست روی قطر آن بچسبانید.). سپس دو انتهای نوار چسب را به دقت ببرید. کلمه ی قطر را بر روی این قطعه از نوار بنویسید.
3. 3-برای هر دایره، نوار مربوط به قطر را در زیر محور x ها و موازی با آن محور بچسبانید. در انتهای این نوار، نوار مربوط به محیط دایره را طوری بچسبانید که انتهای پایینی نوار محیط، عمود بر محور x ها و درست مماس با آن باشد. نقطه ای در انتهای بالایی نوار محیط، روی نمودار مشخص کنید. (شکل زیر را ببینید.).

حال برگه ی ضمیمه ی شماره ی 2 را بین دانش آموزان توزیع کنید. دانش آموزان باید همگام با اجرای فعالیت، به سؤالات زیر این برگه پاسخ دهند. دانش آموزان را به گروه های سه نفری تقسیم کنید. به هر گروه تعدادی اشیاء دایره ای شکل در ابعاد مختلف، یک حلقه نوار چسب، یک قیچی و یک تخته وایت برد کوچک بدهید. از گروه ها بخواهید تا حداقل برای سه دایره، محیط و قطر را اندازه گرفته و اندازه ی آن ها را ثبت کنند. (در صورتی که زمان کافی وجود دارد، اندازه گیری ها را با تعداد بیشتری از اشیاء دایره ای، انجام دهند.)

 

پس از آن که همه ی گروه ها، چندین نقطه را روی منحنی رسم کردند، کار گروهی را متوقف و مجدداً کل کلاس را فراخوانی کنید. از دانش آموزان بخواهید تا با استفاده از اطلاعات جمع آوری شده، با داشتن محیط، قطر دایره های مختلف و یا بالعکس، با داشتن قطر، محیط دایره های مختلف را پیش بینی کنند. مثلاً از آن ها بپرسید: "اگر قطر دایره ای 22 سانتی متر باشد، محیط آن چقدر خواهد بود؟" (پاسخ: تقریباً 69.1 سانتی متر است.) و یا این که: "اگر محیط دایره ای 12 سانتی متر باشد، قطر آن چقدر خواهد بود؟" (پاسخ: تقریباً 3.8 سانتی متر است.)

دانش آموزان باید به این شناخت برسند که نقاط رسم شده روی منحنی، یک خط راست را تشکیل خواهند داد و این که با ادامه ی این خط از دو طرف، می توان از روی منحنی، یک خط راست را تشکیل داد و این که با ادامه ی این خط از دو طرف، می توان از روی قطر، مقدار محیط (و یا بالعکس) را پیش بینی کرد. درباره ی محل تقاطع خط رسم شده بر روی منحنی با محور y ها بحث کنید. دانش آموزان باید بفهمند که این خط از مبدأ مختصات می گذرد. به همین منظور، سؤالات زیر را مطرح کنید:

1. 1-نقطه ی تقاطع هر خط با محور y ها مختصاتی دارد. مقدار x این مختصات چقدر است؟ (پاسخ: صفر)
2. 2-در نمودار مورد نظر، عدد صفر روی محور x به چه معنی است؟ (پاسخ: چون محور x ها نشان دهنده ی قطر دایره است، پس عدد صفر روی محور، به معنی دایره ای با قطر صفر است.)
3. 3-محیط دایره ای با قطر صفر چقدر می شود؟ (پاسخ: صفر)
4. 4-بنابراین مقدار y مختصات نقطه ی تقاطع با محور y ها، برای خط مورد نظر ما، چه مقدار باید باشد؟ (صفر، یعنی این خط باید از مبدأ بگذرد.)

دانش آموزان باید برای نمودار پراکندگی خود (یا مجموعه نقاط خود)، بهترین خط را به صورت تقریبی رسم کنند (برازش خط). بهترین خط را پس از بحث فوق درباره ی محل تقاطع خط با محور y ها، می توان رسم کرد. زیرا اندازه گیری با نوار چسب، نقاط تقریبی بر روی نمودار ایجاد می کند. در نهایت، دانش آموزان در می یابند که بهترین خطی را که می توان با این داده ها رسم کرد، حتماً باید از نقطه ی (0و0) بگذرد. برای برازش خط مناسب، دانش آموزان می توانند انتهای یک تکه ماکارونی خام و یا هر وسیله ی مشابه را روی مبدأ نمودار قرار داده و سر دیگر آن را آن قدر در میان نقاط رسم شده جا به جا کنند تا بهترین خط را تقریب بزنند. پس از رسم خط، دانش آموزان باید معادله ی خط رسم شده را به دست آورند. اگر دانش آموزان به ماشین حساب هایی دسترسی دارند که قادر به رسم نمودار هستند، پس از ورود اطلاعات به ماشین حساب، با استفاده از ویژگی رگرسیون (برازش منحنی خطی) می توانند بهترین خط را برداده های خویش برازش کنند.

یکی دیگر از روش های برازش منحنی، استفاده از مدل سازی "ابزار رسم نمودار و صفحه ی گسترده" است. برای استفاده از آن، به روش زیر اقدام کنید:

1. 1-دکمه ی Data را انتخاب کنید. قطرها را در ستون A و محیط ها را در ستون B وارد کنید.
2. 2-دکمه ی Y= or Plots را انتخاب و قسمت Plot 1: Column A, Column B را های لایت (پررنگ) نمایید. با انتخاب کلید Graph، نمودار پراکندگی (مجموعه نقاط) اطلاعات وارد شده، ظاهر خواهد شد. (شاید لازم باشد برای مشاهده ی همه ی نقاط روی منحنی، با انتخاب کلید Window، تنظیماتی را انجام دهید.)
3. 3-دوباره کلید Y= or Plots را انتخاب کنید. دانش آموزان می توانند ابتدا معادله ی بهترین خطی را که می توان بر این داده ها برازش کرد، تقریب بزنید. سپس به نمودار باز گردید و با انتخاب کلید Graph، از چگونگی تقریب خود آگاه شوند.

درباره ی رابطه ی بین شیب خط و دایره، بحث کنید. مثلاً بپرسید چه فرمولی، معادله ی خط بالایی را تقریب می زند. یعنی چه فرمولی رابطه ی بین محیط و قطر را بیان می کند. احتمالاً برخی از دانش آموزان به دلیل آشنایی با فرمول C = ? d، پاسخ این پرسش را می دانند. اما در مورد بقیه، این بحث، فرصت خوبی است تا مفهوم "آهنگ ثابت تغییرات" جا بیفتد. اگر دانش آموزان در تشخیص این که شیب خطوطشان تقریباً مساوی با عدد است، دچار مشکل شوند، بهتر است از آن ها بخواهید تا شیب خطوط را دستی حساب کنند، یعنی با استفاده از مختصات یکی از نقاط و نقطه ی تقاطع با محور y ها. سپس درباره ی این که در محاسبه ی شیب خط، چه کمیت هایی مورد مقایسه قرار گرفته اند، گفتگو کنید.

پرسش هایی برای دانش آموزان

سؤالات زیر در برگه ی ضمیمه ی شماره ی 1 آمده است.

وقتی می گوییم "? یک نسبت است."، منظور چیست؟ یعنی چه چیزهایی با هم مقایسه می شوند؟ (پاسخ: محیط با قطر مقایسه می گردد. یعنی ? نسبت C به d است.)

وقتی می گوییم "شیب یک خط، یک نسبت است." منظور چیست؟ در این جا چه کمیت هایی با هم مقایسه می شوند؟ (پاسخ: شیب یک خط، نسبت تغییرات مقادیر y به تغییرات مقادیر x است. در این فعالیت، تغییرات محیط، نسبت به تغییرات قطر مقایسه می شود. چون این نسبت همیشه برابر با است، آهنگ تغییر، ثابت است.)

آیا نسبت محیط به قطر، برحسب اندازه ی دایره یا واحد اندازه گیری (اینچ یا سانتی متر) تغییر می کند؟ توضیح دهید. (پاسخ: خیر. نسبت محیط به قطر ثابت است. زیرا همه ی دایره ها مشابه اند. نوع واحد اندازه گیری هم هیچ تأثیری در این نسبت ندارد.)

چگونه می توان رابطه ی بین محیط و قطر دایره را با معادله ی خط y = mx + b نشان داد؟ مقادیر b و m نشان دهنده ی چه کمیت هایی هستند؟ ( پاسخ: معادله ی محیط را می توان به شکل y = ?x + 0 نوشت، که در آن m=? و b=0 است.)

چرا مقادیر x و y متغیر و مقادیر m و b ثابت در نظر گرفته می شوند؟ (پاسخ: زیرا مقادیر m و b تغییر نمی کنند، بنابراین ثابت در نظر گرفته می شوند. ولی متغیر های x و y کمیت هایی را نشان می دهند که تغییر می کنند.)

ارزشیابی

با استفاده از راهکار زیر، دانش آموزان را به بحث درباره ی این که آیا نسبت محیط به قطر دایره، با تغییر اندازه ی دایره، تغییر می کند، تشویق کنید. یعنی ابتدا با انجام رای گیری از دانش آموزان بخواهید که بدون مشورت با دیگران، نظر خود را در مورد ثابت بودن یا متغیر بودن این نسبت بیان کنند. (برای انجام رأی گیری، از این روش استفاده کنید تا دانش آموزان بتوانند به طور هم زمان، نظر خود را بیان کنند: کسانی که یک انگشت خود را بالا نگه دارند، به ثابت بودن نسبت و کسانی که دو انگشت خود را بالا نگه دارند به متغییر بودن آن رأی خواهند داد.) پس از انجام رأی گیری، دانش آموزان موافق و مخالف را دو به دو در مقابل هم قرار دهید تا ضمن انجام بحث، یکدیگر را قانع کنند. سپس دوباره رأی گیری کنید. اگر هنوز دانش آموزانی به متغیر بودن نسبت، رأی دادند، از کل کلاس بخواهید تا راهی برای قانع کردن آن ها و اثبات ثابت ماندن نسبت، پیشنهاد دهند. به عنوان مثال، محاسبه ی نسبت های مختلف محیط به قطر، یا محاسبه ی شیب خطوط گوناگون حاصل از اطلاعات نقاط مختلف، می تواند از راه های پیشنهادی باشد.

از دانش آموزان بخواهید در دفاتر خود، به طور خلاصه درباره ی این که شیب خط یک نسبت است و عدد یک نسبت است، توضیحاتی بنویسند.

توسعه

با ارائه ی موقعیت زیر برای دانش آموزان، به تعمیم مطالب درسی گفته شده کمک نمایید: آقای احمدی یک شرکت خدمات رسانی به ورزشکاران دارد. بنابراین 15 درصد درآمد هر ورزشکار را بابت این خدمات به عنوان کارمزد برمی دارد. حداقل سه زوج مرتب به صورت (کارمزد آقای احمدی، درآمد ورزشکار) بنویسید. این زوج ها را به صورت نقاطی روی نمودار نشان دهید. معادله ی خطی را پیدا کنید که از این نقاط بگذرد. سپس شیب این خط را مشخص نمایید و درباره ی مفهوم شیب این خط توضیح دهید. شیب این خط، نشان دهنده ی نسبت چه کمیت هایی است؟ شباهت این مسئله با مسئله ی دایره در چیست؟

در اختیار هر گروه از دانش آموزان، صفحه ای شطرنجی با مربع های یک سانتی متری قرار دهید، به طوری که بر روی صفحه، تعدادی دایره در ابعاد مختلف رسم شده باشد. از هر گروه بخواهید تا با شمارش مربع های یک سانتی متری، شعاع و مساحت هر دایره را تخمین بزنند. آن ها باید اطلاعات مربوط به هر دایره را تخمین زده و آن ها را به صورت یک زوج مرتب (مساحت، شعاع) یا (r,A) ثبت کنند. سپس این زوج ها را به صورت نقاطی بر روی صفحه ی مختصات نمایش دهند. البته قبل از نمایش نقاط بر روی صفحه ی مختصات، از آن ها بخواهید درباره ی شکل نمودار حاصل از نقاط بیندیشند که نمودار، خطی است یا منحنی درجه دوم؟

سپس دانش آموزان باید با استفاده از ویژگی های برازش خط، معادله ی منحنی را بیابند و ضرایب متغیر را در معادله تعیین کنند. به عنوان مثال، شما می توانید از آن ها بپرسید، چگونه می توان معادله ی دقیق تری را تعیین کرد؟ (فرمول مساحت دایره A = است. بنابراین ضریب معادله تقریباً عدد درمی آید. با استفاده از فرمول مساحت دایره، مشخصات حداقل 6 نقطه را به صورت (مساحت، شعاع) تعیین کنید. نقاط را روی نمودار نشان دهید. سپس در این باره بحث کنید که چرا نمی تواند شیب خط در این نمودار باشد. در پایان، دانش آموزان باید با استفاد از نمودارهای خود، برای هر مساحت داده شده، شعاع دایره ی مربوط به آن را تخمین بزنند.

بررسی اجرای طرح درس در کلاس

آیا دانش آموزان، درک بیشتری از شیب یک خط به عنوان آهنگ تغییر به دست آورده اند؟

آیا دانش آموزان دریافته اند که عدد بدون توجه به اندازه ی دایره، یک نسبت (نسبت محیط به قطر) است؟

برای دانش آموزان زرنگ تر کلاس، چه فعالیت هایی طراحی کردید؟

آیا طرح درس شما، با توانایی های دانش آموزان مختلف متناسب بود؟

آیا شما به وضوح، انتظارات خود را از آموزش این طرح درس برای دانش آموزان بیان نموده اید؟

مترجم: منصوره فروزان