تفاضل مربع ها

اهداف

دانش آموزان قادر خواهند شد:

عبارت های ریاضی را تجزیه و تحلیل كرده و ساده كنند.

كمیت ها را نشان داده و با اعداد صحیح مقایسه كنند

درباره ی تجربیات خود بنویسند.

وسایل لازم

قیچی (اختیاری است.)

طرح درس

اگر بگوییم جبر، تعمیم یافته ی علم حساب است، مستلزم شناخت ساختاری عملیات حسابی بر روی مقادیر دلخواه می باشد. این دیدگاه نسبت به جبر، مستلزم فهم كلی از حساب می باشد. یعنی بر پایه ی مجموعه ای از محاسبات استوار گشته است كه در انتها بصورت یك مفهوم خلاصه می گردد. در هر یك از دروس مقدماتی جبر، موقعیت های زیادی مطرح می شود كه این نوع استدلال جبری مورد بحث قرار گیرد. برای مثال، روش های فاكتورگیری، راه هایی برای ساده كردن عملیات حسابی است.

معلمان می توانند تكالیفی را طراحی كنند كه به دانش آموزان در افزایش شناخت روش های معروف فاكتورگیری، كار با عبارت های جبری و درك جبر به عنوان حساب تعمیم یافته، كمك كند. معادله ی زیر، اصول طراحی این تكالیف را بیان می كند:

جبر به عنوان حساب تعمیم یافته = تفكر + محاسبات

فعالیت مطرح شده در طرح درس زیر ، چگونگی انتقال از محاسبه به جبر را در دوره ی راهنمایی نشان می دهد.

فرمول تفاضل دو مربع

از هر یك از دانش آموزان بخواهید سه مرحله ی زیر را به صورت انفرادی و بدون مشورت با همكلاسی های خود انجام دهند. مرحله ی چهارم، پس از آزمایش با چند عدد، مورد بحث قرار خواهد گرفت.

1. مرحله ی 1: دو عدد متوالی دلخواه انتخاب كنید.
2. مرحله ی 2: مربع (مجذور) هر یك از اعداد را به دست آورید و تفاضل مربع ها را حساب كنید.
3. مرحله ی 3: مجموع دو عدد انتخابی اولیه را به دست آورید.
4. مرحله ی 4: توضیح دهید كه چرا برای همه ی عدد های انتخابی، نتایج مراحل 2 و 3 یكسان است.

به احتمال زیاد، اغلب دانش آموزان پس از تكمیل مراحل 2 و 3 متعجب خواهند شد . به آن ها فرصت دهید تا با همكلاسی های خود در این باره صحبت كنند. دانش آموزانی كه قادرند به راحتی از حروف و نماد های ریاضی استفاده كنند، راه حل را به كمك عبارت جبری زیر می نویسند:

شاید لازم بدانید كه باز هم دانش آموزان محاسبات عددی بیشتری را قبل از به كار بردن نماد های جبری، تجربه كنند، (برای مثال با تكرار مراحل 1 تا 3 برای سایر اعداد متوالی)

در جدول زیر، نتیجه ی محاسبات دانش آموزان برای اعداد متوالی گوناگون نشان داده شده است . در این تجربه ی عملی، اغلب دانش آموزان پس از محاسبات مختلف، باز هم نتوانستند توضیح قابل قبولی برای مرحله ی 4 بیان كنند.

برای اینكه ساختاری در تفكر دانش آموزان ایجاد كنید، از آن ها بخواهید به جای استفاده از دو عدد متوالی، مراحل 1 تا 4 را برای دو عدد با اختلاف 2، مانند 4 و 6 انجام دهند. نتیجه ی محاسبات آن ها، جدولی مانند جدول زیر خواهد بود. اگر لازم بود، از دانش آموزان بخواهید مراحل 1 تا 4 را برای اعداد با اختلاف 3 نیز انجام دهند.

در این مرحله، دانش آموزان كم كم از محدوده ی حساب به محدوده ی جبر نزدیك می گردند. آن ها را تشویق كنید نگاهی كلی به محاسبات خود بیندازند تا شاید الگوهایی را پیدا كنند. از آن ها بپرسید آیا به قوانین جامعی رسیده اند. در این رابطه برخی خواهند گفت: "در اعداد با اختلاف 2، تفاضل مربعات، همواره دو برابر مجموع اعداد می شود. پس می توان درباره ی اعداد با اختلاف سه، این قانون را بیان كرد: تفاضل مربعات آن ها، 3 برابر مجموع دو عدد خواهد شد."

به این ترتیب دانش آموزان، الگو هایی را در محاسبات خود می یابند و به درك جبری خواهند رسید. اما لازم است كاربرد نماد ها را نیز بیاموزند. به همین دلیل از آن ها بخواهید با استفاده از نماد ها و حروف، نتایج قبلی خود را بیان كنند.

از آن جا كه ضریب پرانتز در سه حالت، برابر تفاضل دو عدد a و b می باشد، می توان به فرمول كلی زیر رسید و سه حالت را با این فرمول خلاصه كرد:

به این ترتیب مبنای درك این فرمول جبری، براساس محاسباتی عددی بنا شد كه توسط دانش آموزان انجام گرفته است.

توسعه

1- عدد اولی پیدا كنید كه از مكعب یك عدد، یك واحد كمتر باشد. آیا می توانید عدد اول دیگری با همین شرایط پیدا كنید؟

راه حل:

با استفاده از حروف و نمادها، اعدادی را كه یك واحد كمتر از مكعب یك عدد هستند، این طور نشان می دهیم: x3 - 1.

این عبارت جبری را می توان به صورت زیر ساده كرد:

زمانی می توان گفت كه عدد x3 - 1 اول است كه مقسوم علیه آن به جز خودش، یك باشد. چون برای مقادیر مثبت x، حاصل عبارت x2 + x + 1 بزرگ تر از یك می شود، پس باید x - 1=1، یعنی مقدار x =? به دست می آید. بنابراین 7 = 1- 23 می گردد. یعنی تنها عدد اولی كه از مكعب یك عدد یكی كمتر است، عدد 7 می باشد.

2- می خواهیم با بیان هندسی، آموخته های دانش آموزان را عمیق تر كنیم. به این منظور، از آن ها بخواهید مربعی با طول ضلع دلخواه a ببرند. سپس در قسمت پایین سمت چپ مربع، مربع كوچك تری به ضلع b رسم كنند. بقیه ی مربع بزرگ را هاشور بزنند (مانند شكل زیر).

زمانی می توان گفت كه عدد اول است كه مقسوم علیه آن به جز خودش، یك باشد. چون برای مقادیر مثبت x، حاصل عبارت بزرگ تر از یك می شود، پس باید x - 1=1، یعنی مقدار x =? به دست می آید. بنابراین می گردد. یعنی تنها عدد اولی كه از مكعب یك عدد یكی كمتر است، عدد 7 می باشد.

2- می خواهیم با بیان هندسی، آموخته های دانش آموزان را عمیق تر كنیم. به این منظور، از آن ها بخواهید مربعی با طول ضلع دلخواه a ببرند. سپس در قسمت پایین سمت چپ مربع، مربع كوچك تری به ضلع b رسم كنند. بقیه ی مربع بزرگ را هاشور بزنند (مانند شكل زیر).

از دانش آموزان بخواهید تا رابطه ی بین این شكل و فرمول تفاضل مربع ها را بیابند. آن ها باید با راهنمایی شما به این نتیجه برسند كه مساحت قسمت هاشور خورده a² - b² است. حال از آن ها بخواهید تا نشان دهند كه مساحت قسمت هاشور خورده را می توان از راه (a + b)(a - b) نیز به دست آورد. می توانند از قیچی، برای تكه كردن مربع و جابه جا كردن قسمت های آن استفاده كنند. به این ترتیب دانش آموزان درمی یابند كه قسمت هاشور خورده را می توان به صورت مستطیلی درآورد كه عرض آن a - b و طول آن a + b است و مساحت آن (a + b)(a - b) خواهد شد. (مانند شكل زیر)

مترجم: منصوره فروزان