مساحت و محیط اشکال هندسی

دانش آموزان را به گروه های دو نفره تقسیم کنید و به هر گروه یک تخته ی سفید یا وسیله ی مناسب دیگری برای نمایش در كل كلاس بدهید.

برگه ی «تفکر درباره ی نمودار» را با دستگاه اورهد به دانش آموزان نشان دهید و بگویید: درباره ی نموداری فکر کنید که محور افقی آن نشان دهنده ی طول ضلع یک مربع و محور عمودی آن نمایشگر محیط مربع باشد. به کمک هم گروهی خود، از شکلی که فکر می کنید این نمودار خواهد داشت، طرحی بزنید. شما دو دقیقه برای کشیدن طرح خود فرصت دارید. سپس، آن را بالا نگه دارید تا دیگران نیز طرح شما را ببینند. احتمالاً دانش آموزان شروع به مشخص کردن نقطه هایی روی نمودار خواهند کرد. آنان را تشویق کنید تا بدون استفاده از نقطه گذاری، درباره ی شکل نمودار فکر کنند و آن را حدس بزنند.

  

تفکر درباره ی نمودار

نمودارهایی را که دانش آموزان کشیده اند، با توجه به شکل کلی آن ها دسته بندی کنید. اگر همه ی شکل ها شبیه به هم هستند، بپرسید: «به نظر شما چرا نمودار به این شکل خواهد بود؟» و اگر شکل های مختلفی دارند، از آن ها بخواهید تا توضیح دهند که گروه های دیگر احتمالاً چگونه فکر کرده اند. این بخش از درس برای به کار انداختن ذهن دانش آموزان درباره ی نمودارها و رابطه ها است، بنابراین، دیگر دانش آموزان بدون فکر کردن به رابطه ها، به انجام فعالیت ها نخواهند پرداخت. در این مرحله نباید دانش آموزان را وادار کنیم که جواب های دقیق به دست آوردند. این کار را بعداً انجام خواهیم داد. آن ها دراین مرحله، نمودار ها را کنار می گذارند، اما دوباره به آن باز خواهند گشت.

اکنون دانش آموزان با استفاده از فعالیت کامپیوتری «نمودارهای مربع» پژوهش خواهند کرد. این فعالیت با توجه به تعداد کامپیوتر ها و امکانات موجود، می تواند توسط همه ی دانش آموزان و یا در گروه های کوچک یا دو نفره استفاده شود.

توجه داشته باشید که اگر دانش آموزان این ابزار را برای به وجود آوردن یک رد پا (مجموعه ی نقاط نمودار که به دنبال هم هستند) به كار ببرند و سپس اندازه ی نمودار را تغییر دهند، رد پا ها به آن صورتی که باید باشند، نخواهند بود. هر چند رد پا هایی که روی خط مستقیم قرار دارند (نمودار های 1، 2 و 5) به شكل درستی به وجود می آیند، اما اگر اندازه ی شبکه ی شطرنجی را تغییر دهیم، بقیه ی رد پاها به درستی ظاهر نخواهند شد (نمودار های 3، 4 و 6). اگر دانش آموزان قصد دارند كه اندازه ی شطرنجی را تغییر دهند، ابتدا باید همه ی نقطه ها را پنهان کنند و با کلیک علامت × (در گوشه ی سمت راست پایین صفحه) همه ی رد پا ها را از روی نمودار پاک کنند؛ سپس، اندازه ها را تغییر دهند و رد پاها را از نو رسم کنند. این کار باعث می شود که اطمینان داشته باشیم داده های نادرست را به کار نخواهند برد.

به دانش آموزان بگویید: «این فعالیت کامپیوتری، رابطه های بین اندازه های مختلف مربوط به مربع ها را به شما نشان می دهد. بیایید یک مورد را با هم آزمایش کنیم. برای نمایش قسمتی از نمودار 1، روی نمایش نمودار 1 (Show graph 1) کلیک کنید. یکی از نقاط C یا D را برای تغییر اندازه ی مربع جابجا کنید.» در مدتی که دانش آموزان این کار را انجام می دهند، شما صبر کنید و چگونگی استفاده ی آن ها از این ابزار را زیر نظر بگیرید و هر جا كه نیاز بود راهنمایی شان کنید. نتیجه ی این کار را با پرسیدن این پرسش ها از آن ها به بحث بگذارید:

1. توضیح دهید که چه چیزی را مشاهده کردید. این نمودار چه شکلی دارد؟ (به نظر می رسد که نقطه های نمودار، یک پاره خط مستقیم را نشان می دهند.)
2. چه رابطه ای بین دو اندازه ی مربع، در این نمودار نمایش داده شده است؟ (دانش آموزان می توانند ببینند که چگونه این نمودار با آن چه که پیش از این طراحی کردند، ارتباط دارد، «محیط به عنوان تابعی از طول ضلع»)
3. یک تساوی بنویسید که این نمودار را توصیف کند.  (ممکن است كه دانش آموزان ابتدا این تساوی را به صورت P(s) = s + s + s + s بنویسند.)
4. توضیح دهید که چرا این تساوی درست است؟ (به نظر می رسد که نمودار شامل نقطه های (8و2) و (16و4) است. خطی که از این دو نقطه می گذرد، شیبی برابر 4 دارد و از نقطه ی مبدأ مختصات هم می گذرد.)

از دانش آموزان بخواهید تا به فعالیت اولیه ی خود «تفکر درباره ی یک نمودار» باز گردند. از آن ها بپرسید: «چگونه نتیجه ی فعالیت کامپیوتری را با نموداری که خودتان رسم کردید، مقایسه می کنید؟ آیا هیچ یک از نمودار هایی را که در فعالیت «تفکر درباره ی یک نمودار» کشیدید، تغییر خواهید داد؟ چرا؟» به دانش آموزان اجازه دهید تا فکر هایشان را با یکدیگر مبادله کنند.

برگه ی «ویژگی های نمودار ها» را توضیح دهید. توجه داشته باشید که هم اکنون کلاس به پرسش های مربوط به نمودار 1 پاسخ داده است. از دانش آموزان بخواهید تا در جمع همه ی کلاس به پرسش ها پاسخ دهند و نتایج را ثبت کنند. (متغیر مستقل «طول ضلع» است؛ متغیر وابسته «طول قطر» است؛ خانواده ی تابع «خطی» است؛ قانون تابع: P(s) = 4s و دلیل آن این است که: محیط برابر با مجموع اندازه های 4 ضلع مربع است.)

 

به هر گروه دو نفره ی دانش آموزان، یکی از پنج نمودار باقیمانده را واگذار کنید. این کار كمك می كند كه در شرایطی که همه ی گروه ها زمان کافی برای بحث درباره ی هر نمودار ندارند، همه ی نمودار ها حداقل در یک گروه مورد بحث و بررسی قرار بگیرند.

هر گروه دو نفره کار را با نموداری که به آن ها داده شده، شروع و سپس نمودار های دیگر را به ترتیب با گروه های دیگر مبادله خواهد کرد. به طور مثال، گروهی که با نمودار 5 شروع کرده است، بعدآ و به ترتیب به سراغ نمودارهای 6، 2، 3 و 4 خواهد رفت. برای هر نمودار، باید این موارد در گروه انجام شود:

1. تعیین متغیرهای وابسته و مستقل.
2. تعیین نوع تابعی که نمودار به آن تعلق دارد.
3. نوشتن و توضیح یک قانون یا فرمول برای نمایش تابع.

• دانش آموزان باید نتایج کار خود را در برگه ی «جدول نمودار ها» ثبت کنند. (از دانش آموزان بخواهید که یک نسخه از این جدول را در اندازه ی بزرگ درست کنند تا روی دیوار بیاویزند یا یک نسخه روی کاغذ شفاف اجرا کنند تا بتوان نتایج کار آن ها را با دستگاه اورهد در کلاس نمایش داد.)

•  
• جدول نمودار ها

با توجه به زمان کلاس و پس از این که دانش آموزان فرصت بررسی حداقل دو تا از 5 نمودار را داشتند، از آن ها بخواهید تا دوباره در کلاس دور هم جمع شوند. سپس یکی از دانش آموزان دستاورد های گروه خود را درباره ی نموداری که در ابتدا به آن ها داده شده بود، بیان کند.

سایر دانش آموزان وظیفه دارند تا از این دانش آموز و گروه او درباره ی استدلال ها و توضیحات شان سؤال كنند و اگر موردی مبهم بود، از آن ها توضیح بخواهند. وقتی که دانش آموزان پاسخ های مربوط به سه پرسش هر 6 نمودار را ارائه می دهند، می توانید نتایج را در نسخه ای از جدول که روی کاغذ شفاف آماده شده ثبت کنید و با دستگاه اورهد نمایش دهید. در ضمن، می توانید تا زمانی که همه ی نتایج و بحث ها کامل شود، صبر کنید و بعد، جدول نتایج نمودار ها را به نمایش در آورید.

پس از این که نتایج مربوط به همه ی تابع ها و نمودار ها بررسی شد، کلاس باید به مقایسه و مقابله ی نتایج با یکدیگر بپردازد. به گروه ها اجازه دهید تا پیش از آن که نظراتشان را در کلاس مطرح کنند، درباره ی این پرسش ها بحث کنند: «چرا نمودار رابطه ی بین برخی از اندازه ها خطی است، اما نمودار سایر اندازه ها این گونه نیست؟» (دانش آموزان باید از واحدهای اندازه گیری کمک بگیرند.)

در توابع خطی، واحد اندازه گیری هر دو متغیر یکسان است. (مثلاً هر دو بر حسب سانتی متر هستند، نه یکی بر حسب سانتی متر مربع و دیگری بر حسب سانتی متر). اما رابطه های دیگر که درجه ی 2 یا رادیکالی هستند، وقتی به وجود می آیند که یکی از متغیرها با توان دوی واحد اندازه گیری متغیر دیگر بیان شود.)

پرسش هایی برای دانش آموزان:

چرا رابطه ی بین برخی از این اندازه ها خطی هستند و برخی دیگر نیستند؟

(دانش آموزان باید به واحدهای اندازه گیری توجه کنند. تابع های خطی وقتی به وجود می آیند که هر دو متغیر با واحد یکسانی بیان شوند. (مثلاً هر دو به سانتی متر) روابط درجه دو یا رادیکالی وقتی به وجود می آیند که واحد اندازه گیری یک متغیر، مربع واحد دیگری است. (مثلاً یکی به cm و دیگری به  است.)

ارزشیابی

از دانش آموزان بخواهید تا به این پرسش پاسخ دهند.

« اگر به دنبال رابطه های موجود بین اندازه های یک مستطیل بودید، احتمالآ چه نوع توابعی را  پیدا می كردید؟ چرا؟»

1. (روابط بین اندازه های یک مستطیل به سادگی به توابعی با یک متغیر تبدیل نخواهند شد، مگر آن که طول یک ضلع مشخص باشد. در این صورت می توان رابطه ی تابع هایی را که برای مربع پیدا کردیم، مشخص کرد. به طور مثال، وقتی طول یک مستطیل 7 واحد باشد، عرض آن می تواند اندازه های مختلف نا محدودی داشته باشد. بنابراین، به تعداد نامحدودی مستطیل با طول 7 واحد وجود دارد و محیط آن را می توان این طور به دست آورد: ( ). این جا نیز، مانند طول قطر مربع، تابعی با ریشه ی دوم داریم. اگر طول ضلع مشخص نشده باشد، روابط به صورت تابع هایی با دو متغیر خواهند بود که بحث درمورد آن تعمیم بیشتر این موضوع درسی است.)

از دانش آموزان بخواهید تا روابط بین اندازه های یک پنج ضلعی منتظم و یک مثلث طلایی را به صورت تابع در آورند. (با استفاده از برگه ی فعالیت پنج ضلعی و مثلث طلایی)

 

توسعه

1-همان طور که در پاسخ پرسش اول در قسمت قبل پیشنهاد شد، دانش آموزان می توانند توابعی با دو متغیر –طول و عرض مستطیل- برای به دست آوردن مساحت، محیط و طول قطر یک مستطیل بنویسند.

2- می توانید این مسئله را برای دانش آموزان مطرح کنید:

«مثلث ABC یک مثلث متساوی الساقین است که در آن AB=AC=5 است. وقتی شما نقطه ی B یا C را جابجا می کنید، طول ساق ها همان 5 واحد باقی می ماند، اما شکل مثلث و ظاهراً، مساحت آن تغییر می کند. نمودار مساحت مثلث ABC را به عنوان تابعی از BC پیش بینی کنید.»

ممکن است دانش آموزان این گونه فکر کنند که مساحت، رابطه ای مانند معادله ی درجه ی 2 خواهد داشت، اما این موضوع مورد بحث ما در اینجا نیست. به هر حال، در ابتدای برخورد با مسئله، این موضوع را دنبال نکنید. در عوض، فعالیت کامپیوتری «مثلث متساوی الساقین» را باز کنید و اجازه دهید تا دانش آموزان پاسخ این پرسش را تحقیق کنند. پس از آن، از آن ها بپرسید:

1. نموداری که در صفحه ی کامپیوتر می بینید، چگونه با پیش بینی شما مطابقت می کند؟
2. اندازه ی ضلع BC را در حالتی که مساحت به بیشترین مقدار خود می رسد، تعیین کنید.
3. برای مساحت مثلث ABC بر حسب ضلع BC یک فرمول جبری استخراج کنید.

(در هنگام تعریف این فرمول جبری، ممکن است دانش آموزان برای این که چند متغیر به کار ببرند و چه رابطه هایی برقرار کنند، مشکل داشته باشند. تأکید بر این موضوع که متغیرها مقادیری هستند که «تغییر می کنند» می تواند کمک کند تا به طور ضمنی متوجه شوند که BC گزینه ی خوبی برای متغیر این رابطه است. آن ها می توانند با استفاده از قضیه ی فیثاغورث، ارتفاع مثلث را محاسبه کنند و سپس، مساحت را با این رابطه به دست آورند:   که A مساحت و x اندازه ی ضلع BC است.)

نظرات معلم

دانش آموزان هنگام صبحت درباره ی نمودار ها، چه ایده هایی را درباره ی قطر، محیط و مساحت مطرح کردند؟

وقتی که دانش آموزان نمودار ها را از هم جدا می کردند، چه نظراتی درباره ی تابع های قرینه ارائه می دادند؟

آیا طی مدت تدریس، تطبیق ها یا تغییراتی را در طرح درس لازم دانستید؟ اگر این طور است، چه تغییراتی و در کجا مؤثر بودند؟

مترجم: نیوشا حکمی