مقاطع مخروطی - بخش دوم

در این مقاله سعی شده تا دانش آموزان بتوانند بعد از مطالعه این صفحه، با فرمول های بیضی آشنا شده و بتوانند سوالات در حد کتاب درسی و امتحانی را با تسط حل کنند.

بیضی

بیضی مکان هندسی نقاطی در صحفه است که مجموع فاصله آنها از دو نقطه F و 'F که به آنها کانون های بیضی می گویند، ثابت است. این مقدار ثابت برابر 2a می باشد .( در ادامه a را معرفی خواهیم کرد.)

مثلا در شکل زیر p روی بیضی قرار دارد و داریم :

تعاریف

فاصله کانونی: طول پاره خط F'F را فاصله ی کانونی بیضی گفته و با 2c نشان می دهیم یعنی lFF'l=2c .

مرکز بیضی: وسط پاره خط F'F ، مرکز (مرکز تقارن) بیضی است. (نقطهO)

قطر بیضی: قطر بیضی پاره خطی است که از مرکز می گذرد و بیضی را در دو نقطه قطع می کند. بزرگترین قطر بیضی، قطـری است که از 'F وF می گذرد این قطر را با A'A نشان می دهیم و اندازه آن برابر 2a است یعنی lA'Al=2a .کوچکترین قطر بیضی بر قطر بزرگ آن عمود است و آن را بـا B'Bنشـان مـی دهـیم و انـدازه آن را 2b فـرض مـی کنـیم. . رأس های بیضی نقاط Bو B' ، A' ، A می باشند.

واضح است که همواره در بیضی 2C<2a است.

در هر بیضی رابطه زیر برقرار است:

محور های تقارن : بیضی دو محور تقارن دارد، یکـی از آنهـا بـر A'A منطبـق است که به آن محور کانونی بیضی می گوییم و دیگری بر B'B منطبق اسـت کـه بـه آن محور ناکانونی بیضی گوئیم.

خروج از مرکز:در هر بیضی نسبت c به a را خروج از مرکز بیضی گفته و با e نشان میدهیم. خروج از مرکز هر بیضی، همواره عددی اسـت بین صفر و یك.

اگر خروج از مرکز بیضی به عدد یك نزدیك شود بیضی کشیده و در حالت حدی به پـاره خـط A'A نزدیـك مـی شـود و اگـر خروج از مرکز بیضی به عدد صفر نزدیك شود، بیضی به سمت دایره میل میکند.

بیضی افقی و بیضی قائم: بسته به اینکه قطر بزرگ بیضی با مرکز O( ,ß) موازی محور x ها یا مـوازی محـور y هـا باشـد، بیضـی را افقـی یـا قـائم می گوئیم. که فرمول های آن به صورت زیر می باشد.

مثال: معادله بیضی را بنویسید که طول قطر کوچک آن 4 بوده و مختصات کانون های آن (3,9-) (3,1-) باشد.

پاسخ: مسائل مربوط به مقاطع مخروطی بهتر است بارسم شکل حل شوند.

اگر مختصات کانون های این بیضی را رسم کنیم می بینیم که بیضی قائم است .و مرکز بیضی دقیقا نقطه وسط کانون ها است یعنی (3,5-) O .ضمننا چون بیضی قائم است، بنابر این a در مخرج y قرار می گیرد

مثال: مختصات کانون های بیضی 3(x-1)²+2(y+1)²=6 زیر را بیابید:

پاسخ: ابتدا باید معادله فوق را به فرم استاندارد بیضی تبدیل کنیم.برای این کار باید کل معادله را بر 6 تقسیم کنیم.

در معادله فوق میبینیم بیضی قائم است .بنابر این مختصات کانون ها در راستای مرکز است بطوریکه طول نقاط تغییر نمی کند اما عرض آنها یک واحد (به اندازه c) بالا و پایین می رود.

پیشنهاد:

بهتر است برای اینکه مختصات نقاط مختلف بیضی را به خاطر بسپارید از شکل های زیر استفاده کنید و به هیچ عنوان از روش حفظ کردن استفاده نکنید.