مقاطع مخروطی - بخش اول

به اشکالی که از برخورد یک صفحه با یک مخروط دو پارچه ایجاد می شوند مقاطع مخروطی می گویند. مانند دایره، بیضی، سهمی و هذلولی که به ترتیب به تشریح این مقاطع می پردازیم.

دایره

اگر مکان هندسی نقاطی در صفحه که فاصله آنها از یک نقطه ثابت یکسان باشد،به آن دایره می گویند و آن نقطه ثابت را مرکز دایره می نامند و معادله استاندارد آن به فرم زیر است.

(x-a)²+(y-b)²=r²

در فرم استاندارد فوق O(a,b) مختصات مرکز و r شعاع دایره می باشد.

معادله گسترده دایره

معادله گسترده دایره به صورت x²+y²+ax+by+c=0  می باشد به طوریکه مرکز دایره و شعاع دایره برابر است با:

مثال: اگرO(1,2) مرکز دایره x²+y²-ax+2by=0 باشد a+b را بدست آورید:

پاسخ:

نکته

1) معادله ی دایره ی مماس بر محورx ها به صورت(x-a)²+(y-b)²=b²  است.

2) معادله ی دایره ی مماس بر محورy ها به صورت (x-a)²+(y-b)²=a ²  است.

3) معادله ی دایره ی مماس برهردو محور به صورت (x±a)²+(y±a )²=a ²است:

مثال: معادله ی دایره ی مماس بر هر دو محور بنویسید که مرکز آن روی خطx= 2 باشد.

پاسخ: مختصات مرکز این دایره می تواند (2,2) یا (2,-2) باشد.بنابر این معادلات زیر را داریم:

  (x-2)²+(y-2)²=2²         یا           (x-2)²+(y+2)²=4                      

نکته: اگر خطی بر دایره مماس باشد فاصله ی مرکز دایره تا آن خط با شعاع دایره برابر است. مثلا فاصله مرکز دایره با مختصات A (x0, y0)  از خط ax +by +c=0 مماس بر آن برابر است با:

مثال: معادله دایره ای به مرکز O (4,-1)  بنویسید که بر خط 2x-y+1=0 مماس باشد.

پاسخ: ابتدا باید برای محاسبه شعاع دایره، مختصات مرکز را در فرمول فوق قرار دهیم.

4) بیشترین فاصله یک نقطه(نقطه با فاصله d از مرکز دایره) از محیط دایره برابر d+r و کمترین فاصله آن نقطه از محیط دایره برابر ld-rl است.

وضعیت دو دایره نسبت به هم

برای بررسی وضعیت دو دایره باید فاصله بین دو مرکز دایره O و O' و اندازه شعاع های دو دایره یعنی rو r' را داشته باشیم.

1: دو دایره متخارج اند اگر:

2: دو دایره متقاطع اند اگر:

3: دو دایره مماس خارج اند اگر:

4: دو دایره مماس داخل اند اگر:

5: دو دایره متداخل اند اگر:

در شکل زیر به ترتیب دو دایره متداخل، مماس داخل، متقاطع،مماس خارج و متخارج را می توانید مشاهده کنید.

هم چنین می توانید در شکل زیر در هر حالت مماس های مشترک داخلی(درونی) و مماس های مشترک خارجی(بیرونی) را  ببینید.

زمانی که دو دایره مماس خارج و یا مماس داخل باشند می توان برای محاسبه معادله مماس مشترک، معادله دو دایره را از هم کم کرد.

از رابطه فوق می توان برای محاسبه وتر مشترک دو دایره متقاطع نیز استفاده کرد.

مثال: دو دایره x -1)²+ (y-1)²=1) و x -7)²+ (y-9)²=81 ) نسبت به هم در چه وضعیتی هستند؟

می خواهیم معادله خطی گذرنده از A(x0, y0)  را بنویسیم که بر دایره ای با مرکز O(a,b)  و شعاع r  مماس باشد.

1: اگر نقطه A روی دایره باشد روی دایره باشد در این صورت شیب خط به راحتی به دست می آید .ابتدا با استفاده از دو نقطه O A شیب  OA را بدست می آوریم  و می دانیم خطOA  عمود بر خط اولیه می باشد پس کافی ست شیب را عکس و قرینه کنیم.

2: در حالتی که نقطه خارج از دایره باشد برای محاسبه معادله خط y-y0 =m (x-x0)  باید شیب این خط را بیابیم، برای این کار باید فاصله مرکز دایره از این خط را برابر شعاع قرار دهیم.

مثال: معادله ی خط مماس بر دایره x -1)²+ (y+2)²=5) را بنویسید که از نقطه A(3،-1) بگذرد.

پاسخ: با کمی دقت مشاهده می کنیم این  نقطه روی دایره قرار دارد زیرا مختصات آن در دایره صدق می کند.

در ادامه با مقاطع مخروطی دیگر آشنا می شویم.

بیضی

سهمی

هذلولی

تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری تبیان