مجانب ها
مجانب ها یکی از موارد اصلی و اساسی در رسم نمودار توابع می باشد.
موضوع
انواع مجانب ها
اهداف کلی
1-بیان مفهوم مجانب ها و کاربرد آنها در رسم توابع
2-یافتن انواع مجانب ها به کمک ریشه مخرج یا حد در بی نهایت
3- تشخیص انواع مجانب در هر تابع
اهداف پیش بینی شده
پیش بینی می شود دانش آموران بعد از توضیح مطالب به اهداف زیر دست یابند:
1- بتوانند با مشاهده و بررسی تابع ،تشخیص دهند هر تابع چه مجانبی دارد
2 - بتوانند مجانب قائم توابع را به کمک ریشه مخرج بیابند
3 - بتوانند با استفاده از حد در بی نهایت مجانب افقی را بیابند
4 -بتوانند در توابع کسری و رادیکالی، مجانب مایل را بیابند.
نکات آموزشی و تدریس
بخش مجانب ها مانند اکسترمم ها در رسم توابع بسیار کاربرد دارد، بنابر این آموزش مفهومی این بخش بسیار مهم است .دانش آموزان در بخش یادگیری اولیه مجانب ها و شکل آن ها اغلب مشکلی ندارند ولی در مورد روش های بدست آوردن هر کدام از مجانب ها به خصوص مجانب قائم و افقی دچار مشکل می شوند. دبیران محترم روی این موضوع دقت بفرمایند.
ارائه درس
مجانب ها خطوطی هستند که رفتار تابع را در بی نهایت مشخص می کند.به طوری که درحالت حدی نمودار تابع و خط مجانب در بینهایت به هم نزدیک می شوند و نمودار تابع به هیچ عنوان در بی نهایت به این مجانب نمی رسد یعنی فقط به آن نزدیک می شود و فاصله نمودار تا خط مجانب، کم و کمتر می شود طوری که به صفر میل می کند.
انواع مجانب ها، سه دسته هستند: قائم و افقی و مایل.
مجانب قائم
مجانب قائم خطی است عمودی که در کنار منحنی حرکت می کند و در بی نهایت بر آن مماس می شود.یعنی مجانب قائم خطی موازی محور Y هاست. در واقعاگر در تابعی به ازای x=a مقدارتابع یعنی y به سمت مثبت یا منفی بینهایت برود، آنگاه خط x=a مجانب قائم آن تابع می باشد. شکل زیر نمونه ای از انواع مجانب قائم می باشد.
تعیین مجانب قائم
در توابع کسری برای تعیین مجانب قائم کافی ست ریشه های مخرج را محاسبه کنیم به شرط آن که ریشه های صورت نباشند،البته اگر بخواهیم بدانیم شکل مجانب قائم به چه صورت است باید حد راست و چپ تابع را در ریشه ها، بیابیم .در صورتی ریشه مخرج ریشه صورت نیز باشند،حاصل حد0/0 می شود که با رفع ابهام 0/0 اگر حاصل حد ∞+یا∞-شود، مجانب قائم داریم.
نکته: تمام توابع با برد محدود و کران دار، نمی توانند مجانب قائم داشته باشند .چون نمی توانند به سمت بی نهایت روند. مانند تابع مثلثاتی y=cos ax .
مثال:مجانب قائم توابع زیر را بیابید.
زمانی تابع مجانب افقی دارد که مقدار تابع در ∞=x ،به سمت یک عدد ثابت مثل y=a نزدیک می شود.در آن صورت می گوییم خـط y=a مجانب افقی تابع می باشد. شکل زیر نمونه ای از انواع مجانب افقی می باشد.
تعیین مجانب افقی
برای تعیین مجانب افقی توابع کافی ست حد آنها را در∞=x بیابیم.
نکات
1 -توابعی که دامنه آنها محدود است، مجانب افقی ندارند زیرا مجانب افقی در ∞=x اتفاق می افتد. مانند تابع زیر:
2 -در توابع کسری اگر درجه صورت مساوی درجه مخرج یا بیشتر از درجه مخرج باشد، مجانب افقی داریم.که با استفاده از حد گیری در حالت اول y=aمجانب افقی خواهد بود (aیک عدد است) و در حالت دوم y=0مجانب افقی خواهد بود.
مثال: مجانب افقی توابع زیر را بیابید:
مجانب مایل
مجانب مایل خطی است که تحت آن اگر x به سمت بینهایت میل کند،y نیز در راستای آن به سمت بینهایت میل می کند. پس همx و هم y به سمت بی نهایت می روند.بنابر این اگر دامنه و یا برد تابعی محدود باشد، آن تابع مجانب مایل ندارد.
فرم کلی مجانب مایل به صورت خط y=ax+b می باشد. که این خط باید در شرط زیر صدق کند:
به طوری که a و b از روش استاندارد به صورت زیر محاسبه می شوند:
1) در توابع کسری که درجه صورت یکی بیشتر از مخرج باشد، مجانب مایل داریم که با روش تقسیم می توان خارج قسمت را به عنوان مجانب مایل در نظر گرفت.
مثال:
ارزشیابی پایانی
انواع مجانب های توابع زیر را بیابید:
تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری سایت تبیان
